量子英雄傳路徑積分QED218. 路徑積分別有新意 眾人構建量子場論在量子力學建立初期，可以基本上認為它有兩套綱領：海森堡等人的矩陣力學和薛定諤的波動力學。但實際上它們在數學上是完全等價的，僅僅從表面上看似乎分別偏向于粒子能級躍遷的解釋和波動解釋。之後，狄拉克將波動方程擴大到能夠處理相對論粒子和自旋，使得量子力學應用起來更為完善並且開啟了量子場論的發展，但仍舊屬于求解波函數的“波動解釋”。然而，費曼的路徑積分方法卻是別有一番新意，它讓人們完全從另外一種角度來思考量子力學。 從數學方法上來說，海森堡等人使用矩陣，薛定諤和狄拉克使用微分方程，費曼則是使用積分的、整體的觀念來解釋和計算量子力學。並且，路徑積分的方法有一個優點：可以很方便地從量子力學擴展到量子場論。 ·路徑積分 什麼叫“路徑積分”呢？我們首先從牛頓力學中粒子走過的路徑來理解。 經典力學最初的表達形式由牛頓給出，之後拉格朗日及哈密頓等人建立了分析力學。牛頓力學中，大多數情況下是用解微分方程的方法。即在一定的初始條件下，方程的解是粒子的空間位置隨著時間而變化的一條曲線。例如，

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如圖18-1所示，考慮按照一定的速度和角度發射出去的子彈的軌蹟，是一條從發射源到目標的一條拋物線，即圖中的紅色實線。在分析力學中，一般用極值和變分法來處理力學問題。 圖18-1：牛頓力學決定的經典路徑（紅線） 從圖18-1中我們看到：從發射源到目標點可以有很多條路徑。為什麼子彈就單單挑了那一條（紅色）路徑來走呢？這個問題問得奇怪，不是有牛頓定律嗎。是啊，粒子路徑，那條紅實線，是在地球重力場中牛頓方程的解。不過，拉格朗日等分析學家們對這個問題有另外一種說法。分析力學中有一條基本的“最小作用量原理”。大自然遵循著這條奇妙的規則，表現得就像一位精明的經濟師！就是說，它總是挑選作用量最小的方式行事。例如，根據最小作用量原理，可以如此理解圖18-1中子彈的運動：從源到目標的每一條路徑，都對應于一個稱為“作用量”的數值，

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而子彈最後選擇的紅色經典路徑，必是作用量最小的那條路徑。 費曼將這個思想用到量子理論中，說法改變了：量子力學中的電子，不像經典粒子那樣，只走一條紅色拋物線，而是同時走所有可能的路徑。即所有的路徑都對電子從始點到終點的概率有貢獻。不同的路徑貢獻不同的概率幅，總概率幅等于所有概率幅相加。再進一步，如果將路徑積分用于量子場論的話，說法也是類似的，只是需要將電子改為“系統的量子態”，即：場論中的量子態，過渡到另一個量子態的概率幅，是所有可能路徑的概率幅相加。所以，三種情形（經典、量子力學、量子場論）下的物理規律，都可以用類似的說法來表達，只不過三種理論中，作用量的表達式不一樣而已。 上一篇中介紹過，費曼在MIT得知量子電動力學有無窮大的問題後，來到普林斯頓投奔到惠勒旗下讀博士，如魚得水，

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雄心勃勃。不過，兩人剛發了一篇文章，二戰便開始了。他們雙雙參加到原子彈研究的曼哈頓計劃中，無暇再顧及這種純理論問題。在洛薩拉莫斯，費曼以其坦誠的人格、敏銳的眼光和出色的表現，A得了老一輩物理學家，如玻爾、貝特等人的高度贊賞；韋格納把他譽為第二個狄拉克。那時候，年輕有為的他是大家心目中的英雄和天才，不是一般的天才，是個魔術師般的鬼才！此外，費曼又是個性情中人，他的第一任妻子阿蓮在洛薩拉莫斯因病去世，費曼給她寫過一封信，其中講到他們的感情故事，催人淚下、感人至深。費曼一直珍藏著這封沒有地址也無法寄出的信，直到他去世後才被開封。 大戰結束之後，費曼受聘于康乃爾大學，得以再繼續他對量子理論問題的探討。幾年之後，費曼在他的博士論文的基礎之上，完善了作用量量子化的路徑積分方法。他1948年在《現代物理評論》上發表的“非相對論量子力學的空一時描寫”便是其劃時代的代表作。幾乎同時，費曼也成功地解決了量子電動力學中的重整化問題，創造出了著名的費曼圖和費曼規則，方便快捷地近似計算粒子和光子相互作用問題。 ·“場”研究的歷史 費曼路徑積分的思想很容易從量子力學推廣到場論，但量子場論中大多數人採用的正則量子化方法更容易理解。 在物理學中，研究“場”的歷史早已有之。牛頓引力理論雖然是一種超距作用，牛頓也從未說到過“場”，但牛頓引力也表現某些含糊的經典場概念。後來，經典電磁場由法拉第提出，麥克斯韋賦予其嚴格的數學描述，在工程上一直成功地沿用至今。 最早將量子力學用于場（真空中的電磁場）的是量子力學創建者玻恩、海森堡、約爾丹等1926年的論文。普朗克也曾經將受熱物體內電子的運動替換為無限多個簡單振動模式，用這種理想化處理方式，他提出任何一個振動模式所允許能量差等于該模式振動頻率乘以普朗克常量的猜想。普朗克的猜想被量子力學所證實。 正則量子化的方法，是將電磁場想象成簡單振子，如同小提琴的弦。換言之，電磁場可以被看作是一把擁有大量弦的小提琴，

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弦具有所有可能的長度。電磁場內任何一個振動模式的能量正比于場強的平方。每個振動模式的能量都是量子化的，大小等于該模式振動頻率乘以普朗克常數。 玻恩，海森堡以及約爾丹等，當年的工作只是處理真空中的電磁場，並沒有能夠給出其它任何重要的預測，但至少把愛因斯坦對光子的觀點付諸于嚴格的數學基礎。 最先讓量子場發揮“實際”用途的是狄拉克。狄拉克用場論計算了處于激發態原子自發釋放電磁輻射躍遷到低能態的速率。其中最關鍵的問題是如何用量子力學來理解莫名其妙冒出來的光子。 繼狄拉克之後，1928年，約爾丹和維格納， 1929年到1930年間海森堡和泡利，以及1929年的費米，均發表了類似的論文。他們指出物質粒子可以理解為不同場的量子，就如光子是電磁場的量子一樣。1932年，費米應用這種思想解釋了原子核β衰變的理論。 因此，量子場論的思想早就誕生了，幾乎可以算是量子力學的孿生兄弟。或者小1-2歲吧【2】，因為量子電動力學一詞，第一次就是出現在狄拉克1927年的文章中。但後來量子力學突飛猛進發展，量子場論卻多年停滯不前，其原因是因為它在發展過程中碰到了“無限大”的困難。之後，物理學家們發展了重整化的方法加以解決。 ·粒子和場 量子場論的思維方式，就是將所有的物質都看成場，以場為本，認為粒子只是場的“激發態”，猶如水波中的漣漪。 這種思維方式主要是狄拉克開創的。狄拉克的思想來自兩方面，狄拉克海是其一。狄拉克海的假設雖然不完善，這種“真空不空”的思想卻被大家接受並移植到量子場論中。既然狄拉克海的解釋涉及到了無窮多個電子，還不如一開始就考慮多電子的運動而不要只考慮單電子的運動。正電子也可以從一開始就冠冕堂皇地進入理論中，而沒有必要作為真空的一個空洞而出現。 另一方面，狄拉克早在發布狄拉克方程和狄拉克海之前的1927年，就已經使用場論的方法，成功地計算出原子的自發輻射系數。 處于低能級El的原子，受到外來光子的激勵時，能吸收光子的能量，躍遷到高能級Eh，即ΔE=Eh-El，這種現象叫做受激吸收，見圖18-2a。而受激吸收之後處于高能級的原子，也有可能輻射出光子躍遷到低能態。這種躍遷有兩種方式：自發輻射和受激輻射。前者的例子如熒光等（圖18-2b），後者的例子如激光（圖18-2c）。 圖18-2：原子的吸收和輻射 受激輻射大致可以用量子力學粗略解釋，自發輻射的解釋卻需要量子場論。因為根據量子力學，如果一個孤立原子處于定態（激發態），它將一直處于該態，而不會自發躍遷。孤立的電磁場也是如此，用小提琴琴弦（諧振子）來比喻，如果不存在與原子的相互作用，電磁場就像全部彼此隔絕小提琴琴弦的集合，該集合將永遠保持不變，意味著原子將永遠保持初始能態。但是，如果根據量子場論，孤立原子是不存在的，

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真空中存在各種場。處于激發態的原子必然與真空中電磁場發生相互作用，因而導致自發輻射。 比較量子力學，量子場論的另一個優越性是能夠處理粒子數變化的情形，是基于同樣的道理。量子力學方程解出的是單電子的波函數，電子數是固定的1，光子數固定為0。原子中因為電子狀態的躍遷而輻射光子的過程無法用經典電磁理論描述。因為原來系統中並沒有任何電磁場存在，為什麼突然就冒出幾個光子來了呢？ 類似的問題來自于解釋原子核多種放射性衰變中的β衰變，就像當原子失去能量時產生光子一樣。β衰變中的原子核釋放出一個電子。開始人們認為原子核由質子和電子組成，然而1931埃倫費斯特和奧本海默提出一個論證，原子核中並不包含電子。那麼，原子核發生衰變時電子是從哪裡來的呢？費米由此而提出核衰變時，中子變為質子、電子和中微子（泡利預言的）的（場論）想法，完整地解釋了β衰變。 按照量子場論的觀點，每一種基本粒子，都應該有一個與它對應的場，

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這些場互相滲透、作用、交匯在一起，真空被看作是各種量子場的基態，粒子則被看成是場的瞬息激發態。不同的激發態，有不同的粒子數和不同的粒子狀態。不同場之間的相互作用，引起各種粒子的碰撞、生成、湮滅等等過程。 總結上面所說的，物理研究中有兩種類型的“場”，經典場和量子場。麥克斯韋電磁場，從薛定諤方程、狄拉克方程等解出的波函數，都算是經典場。電磁場是光子的經典場，波函數是單電子的經典場。經典場可以被量子化為量子場，即通常人們所說的“二次量子化”。電磁場被量子化後成為光子場，單個電子的波函數被量子化後成為“電子場”，電子場使得電子回歸到粒子性，但描述的已經不是原來的單個電子，而是粒子數可以變動，電子及正電子不斷產生和湮滅的多粒子場。類似地，還有誇克場、其它基本粒子場等等。 研究這些基本粒子場之間復雜的相互作用。以及在各種相互作用下可能發生的粒子產生和湮滅的理論，便是量子場論。其中最常用的一個，研究光子與物質相互作用的，叫做量子電動力學，即QED。 下面以電磁場的量子化為例，對量子化過程作簡單介紹。 ·電磁場的量子化 經典電磁場被看成是連續的電磁波，量子化之後成為物理量有分離本征值的各種頻率的光子場。 量子化的方法很多，除了之前所說的費曼路徑積分之外，常用的是正則量子化。這是最早時候狄拉克，

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以及之後的約爾丹、維格納、海森堡、泡利、費米等使用的方法。 當我們說“量子化”，意味著什麼？從經典力學過渡到量子力學時，物理量用算符表示。現在要從經典場過渡到量子場，也遵循這個法則。電磁場量子化的第一步，是把整個空間的電磁場，分成若幹個不同位置、不同動量的諧振子。也就是說，將電場強度E和磁場強度B的電磁場（圖18-3a），表示為許多具有正則坐標qi和正則動量pi的諧振子（圖18-3b）。 圖18-3：從經典場到多個諧振子到量子場 電磁場中的所有物理量（電場強度、磁場強度、位置、動量等），量子化後都是算符。從諧振子的正則坐標和正則動量，

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可以定義光子的產生算符a+j(t)和湮滅算符a-j(t)，見圖18-3c。 產生算符和湮滅算符也是狄拉克最早使用的，來源于他在量子力學中解決諧振子勢場中電子能級問題時，引進的“升降算符”，也叫階梯算符【3】。 有了產生算符和湮滅算符，光子（或其他粒子）可以消失或產生，量子場論才成為一個完整的理論。從量子力學中位置算符和動量算符的不確定性關系，可以得到產生算符和湮滅算符的不確定性關系，如下：（18·1） 最後，產生算符和湮滅算符構成光子數算符n。使用光子數表象，算符n的本征態|n，可以被看作是有n個光子的量子態，例如，|0表示系統的基態，或稱真空態。 從量子場論出發，可以計算各種帶電粒子與電磁場相互作用的“截面”，這兒的“截面”，即散射截面，是一個物理術語，用以度量發生相互作用的概率。例如康普頓效應、光電效應、軔致輻射、電子對產生和電子對湮沒等。這些物理現象的結果都可以用微擾論方法取最低一級不為零的近似而得到。但不論是那一種過程，當計算更高階的近似時，會得到無限大的結果。因為這個原因，量子場論的研究停止了近二十年。疫情之下（之後）我們怎麼吃（5）革除傳統陋習新冠病毒仍然在全世界肆虐，

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看起來，在一個相當長的時間內，人們似乎難以消滅這種病毒，必須要學會和習慣于與這種病毒相處。為了在這種病毒還存在的情況下好好生活，我們有必要反思我們過去的生活方式，改正某些不健康的生活方式。千百年來，我們的生活方式總是處在變化的過程中，這種變化有時候比較緩慢，有時候則很快。變化很緩慢的往往成為習慣或習俗。隨著社會和生活環境的變化和發展，隨著人們認識事物水平的不斷提高，有些生活習俗就不能適應人們的物質生活狀況，成為落後的或不良的生活習俗，或者稱為陋習，需要得到改革。現在看來，我們現在很多人在飲食方面就存在一些陋習，應當予以革除。一個陋習便是“活殺”。現在豬牛羊自己屠宰的極少了，但是很多人對雞鴨等家禽還是講究或希望自己活殺，殺了便烹調，以為這樣才“新鮮”。對魚更是如此，他們非活魚不吃。即使對于自己無法屠宰的豬、羊，也希望到市場上購買到當天屠宰的所謂“熱氣肉”即熱鮮肉，以為這樣的肉才新鮮、好吃。在家禽或其他動物活體上，往往存在著寄生蟲、有害細菌以及各種病毒，自己宰殺，是非常容易引起這些寄生蟲、細菌和病毒感染的。例如，前些年的禽流感的流行就與家禽活體有很大的關系。早在2006年11月20日，國務院辦公廳就發文，要求“率先在大城市逐步取消活禽的市場銷售和宰殺，推行‘禽類定點屠宰、白條禽上市’制度”。但是，在很多人都心目中，都還是相信活殺的家畜、家禽新鮮度高，味道鮮美，從而堅持活殺。活禽市場總是死而復活。是不是家畜、家禽都是活殺的味道最鮮美？其實並非如此。動物死後肌肉中糖原在無氧條件下分解，產生乳酸，造成PH值下降。另一方面，三磷酸腺甘分解產生磷酸，使得PH值進一步下降。肌肉在這種酸性條件下，失去原有的彈性和較好的保水性，肌纖維收縮、硬化，肌肉變硬，這就是屍僵。這時候的肉，如果烹飪，則味道較差。各種動物從被宰殺到開始屍僵並持續的時間並不相同。如魚類在0.1～0.2小時內開始並持續2小時，

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雞則在2～4小時內開始並持續6～12小時，豬則8小時開始持續72小時。這樣，我們自己宰殺的魚、雞以及市場上買來的熱氣肉（熱鮮肉），在烹調它們的時候，差不多都在屍僵的階段。動物的胴體肌肉在宰後僵直達到最大程度並維持一段時間後，其僵直會緩慢解除、肉的質地變軟，這個過程稱為解僵。如果在較低溫度如攝氏零度多一點的條件下進行上面所說的解僵，

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則肌肉變軟、保水力和風味都會有大的改善，這個過程稱為肉的成熟。由于在較低的溫度下使肉成熟，大多數微生物的繁殖受到抑制，肉中的□發生作用，將部分蛋白質分解為鮮味物質氨基酸，乳酸降解為二氧化碳和水，這樣就使得肉質柔軟細嫩，好熟易爛，味道鮮美。經過這樣處理的肉，稱為冷鮮肉或者冰鮮肉或排酸肉。當然，這樣的處理過程並不是人們自己宰殺後可以進行的。而現在的冰鮮肉、冰鮮雞、冰鮮魚等都是由大型食品加工企業生產的。這些由食品加工企業生產的冰鮮肉、冰鮮雞、冰鮮魚等，基本上都是去除了我們不能食用的部分，所以，既味道鮮美又方便烹飪和食用，而且清潔衛生。由食品加工企業去除不可食用部分，還有一個好處，就是減少廚餘垃圾，而工廠還可以把這些不可食用部分進一步利用。如果說，冰鮮肉清潔衛生而且烹飪後口味較好，那麼從食品衛生安全考慮，冷凍肉更勝一籌。冷凍肉是指在低于-28℃的環境下，將肉的中心溫度降低到-15℃以下，並在-18℃ 的環境下儲存的肉。在這樣的低溫下，肉中的寄生蟲可以被凍死，細菌基本停止生長。雖然從原則上說，在低溫的條件下病毒容易“生存”更長的時間，但是考慮到我們對動物肉類都應當是煮熟後食用的，而病毒對溫度的忍耐程度比寄生蟲、細菌都差得多。一般不會因為煮的不夠熟而由病毒引起食品衛生問題。所以，在衛生安全方面考慮，冷凍肉的安全性比冷鮮肉還略好一些，而熱鮮肉最差。當然，從烹飪的角度看，冷鮮肉仍然是最佳的選擇。對于冷凍肉，正確的解凍方法，可以減少對于肉的良好風味和營養的損失。例如，可以提前把將要食用的肉取出，用食品袋包好，放置在冰箱冷藏室自然解凍，以保證肉中的冰晶不會破壞肉的細胞，保持肉的嫩度。如果時間比較局促，也可把冷凍肉裝入塑料袋內封好口，浸泡于冰水中，解凍30分鐘，肉呈現麻凍狀態即可烹飪。有人可能因為包括新冠病毒在內的病毒在低溫下“生存”更長的時間而對冷凍和冰鮮產品的安全性失去信心。這是完全沒有必要的。食品衛生問題，不僅僅是病毒問題，而且主要不是病毒引起的問題。即使是防止病毒引起的問題，也只需要在洗滌、分割等初加工時注意防護即可。低溫加工、運輸、儲存食品毫無疑問仍然是最安全的方式。在烹飪方面，我還是主張要將肉類（無論什麼種類，是家畜、家禽還是魚類）都要煮熟。在這個問題上，還是以食品安全為第一，不可因口味而影響安全性，即吳地諺語所說，不可“貪嘴不留窮性命”。生食動物類食物是我們的一個陋習。本來，把生的食物煮熟後食用是人類從野蠻走向文明的一個標志。煮熟的食物使得食物中的各種營養成分更容易被消化吸收，另一方面又殺滅了各種有害的寄生蟲、微生物，使得人們的身體得到健康的營養。但是，由于某些食物生食有特別的口味，為了追求這種口味，人們就生食這種食物。因此，為了追求口味而生食食物特別是動物性食物是冒著損害健康的風險的，應當說是一種陋習。江南人過去有吃醉蝦、醉蟹的，這都是活蝦、活蟹的生食。雖然高度數的酒有一定的抑菌作用，但是並不能殺滅這些水生動物身上可能的寄生蟲、有害細菌和病毒。把殺滅這些有害生物的任務都交給胃酸去完成，是一樁危險的事情。沿海各地都有吃毛蚶的愛好，把毛蚶倒進開水裡，待毛蚶一張開就立即撈出食用，實際上毛蚶還是生的。味道確實不錯，但是容易引起疾病。上世紀80年代，上海就因為居民食用被甲肝病毒污染了的毛蚶，引起了甲型肝炎的大流行。由于日本人好吃生魚片，近幾十年來，我們的各種宴席上，生魚片也是一道常見的“佳餚”。雖然很時髦，但是，食品衛生的風險還是很大的。還有有些人煮雞蛋或煎雞蛋都喜歡煮、煎得很嫩，成為所謂溏黃或稱溏心的。實際上，雞蛋容易受到沙門氏菌的污染，食用了沒有煮熟的這種雞蛋，就容易引起食物中毒。牛肉、羊肉煮的太嫩或烤得不熟，也容易有食品衛生方面的問題。即使是蔬菜，生食也應當謹慎。首先要求蔬菜的生產、運輸、儲存等方面都有較高的要求。也要求在洗滌、加工的過程中特別小心。避免各種寄生蟲、有害細菌和病毒的污染。歐洲人很重視食品衛生，他們在食品原料的生存、運輸、儲存等環節的要求都非常嚴格，但是他們還是不時發生食物中毒的事件，這與他們中有不少人喜歡生食有關。所以，應當說，從食品衛生的角度看，對動物類食物的生食不是一個好的習俗，應當予以革除。，